已知\angle BDC=2\angle CBD,\angle ACB=30°,\angle ABD=60°,求证:AB=CD。
解:
如图所示:
作
\angle BDC的平分线交
BC于
E点,则:
\begin{align}
\angle BCD=&30°\\
\angle CDE=&50°\\
\angle EDB=&50°\\
\angle DBE=&50°\\
\angle BDA=&80°\\
\angle BAD=&40°
\end{align}
在
\triangle ABD中,由正弦定理得:
\frac {AB}{sin80°}=\frac{BD}{sin40°}\ \ \ \ (1)
在
\triangle BCD中,由正弦定理得:
\begin{align}
\frac {BD}{sin30°}=&\frac{CD}{sin50°}\\
\ \ \ \ =>BD=&\frac{sin30°}{sin50°}\times CD\ \ \ \ (2)
\end{align}
将
(2)代入
(1)消去
BD得:
\begin{align}
\frac {AB}{sin80°}=&\frac {sin30°}{sin40°\times sin50°}\times CD\\
=> AB=&\frac{sin80°\times sin30°}{sin40°\times sin50°}\times CD\\
=&\frac{sin80°\times sin30°}{-\frac 12(cos90°-cos10°)}\times CD\\
=&\frac{sin80°\times sin30°}{\frac 12cos10°}\times CD\\
=&CD
\end{align}
即
AB=CD,原命题得证。