在$\triangle ABC$中,$∠A=∠ABC=∠ADB=70°$,$CD=BE$,求$∠BDE=?$
解:
如图:
因为
$$\angle A=\angle ABC=\angle ADB= 70°$$
,所以,
$$
\begin{align}
\angle C=& 40°\\
\angle ADB=& 70°\\
\angle ABD=& 40°\\
\angle DBE=& 30°
\end{align}
$$
设$\angle BDE=β$,$\angle CED=α$,则
$$
\angle α=\angle β+30°\ \ \ \ (1)
$$
则在$\triangle CDE$中,由正弦定理得:
$$
\frac {DE}{sin40°}=\frac{CD}{sinα}\ \ \ \ (2)
$$
在$\triangle BDE$中,由正弦定理得:
$$
\frac {BE}{sinβ}=\frac{DE}{sin30°}\ \ \ \ (3)
$$
由$(3)$得:
$$
DE=\frac{BE \times sin30°}{sinβ}\ \ \ \ (4)
$$
把$(4)$代入$(2)$得:
$$
\frac{BE \times sin30°}{sin40° \times sinβ}=\frac{CD}{sinα}\ \ \ \ (5)
$$
因为$CD=BE$,所以等式可以化简为:
$$
sin30° \times sinα=sin40°\times sinβ\ \ \ \ (6)
$$
再把$(1)$代入$(6)$得:
$$
sin30°\times sin(β+30°)=sin40°\times sinβ
$$
解这个三角函数方程得:
$$
β=50°
$$
即:$\angle BDE=50°$