求逆矩阵：
输入一个可逆矩阵，每个元用逗号隔开，每行用分号结尾。
注意，不支持支持数学函数和变量。
输入一个可逆矩阵，每个元用逗号隔开，每行用分号结尾。
注意，不支持支持数学函数和变量。
$$\begin{aligned}&\\ \color{black}{计算矩阵}& \ \ \begin{pmatrix} &4\ &2\ &4\ &2\ \\ &8\ &16\ &8\ &4\ \\ &32\ &64\ &128\ &16\ \\ &256\ &512\ &2048\ &4096\ \end{pmatrix}\color{black}{的逆矩阵。}\\ \\解:&\\ &\begin{pmatrix} &4\ &2\ &4\ &2\ \\ &8\ &16\ &8\ &4\ \\ &32\ &64\ &128\ &16\ \\ &256\ &512\ &2048\ &4096\ \end{pmatrix}\\\\&\color{grey}{用矩阵的初等变换来求逆矩阵：}\\&\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &4\ &2\ &4\ &2\ &1\ &0\ &0\ &0\ \\ &8\ &16\ &8\ &4\ &0\ &1\ &0\ &0\ \\ &32\ &64\ &128\ &16\ &0\ &0\ &1\ &0\ \\ &256\ &512\ &2048\ &4096\ &0\ &0\ &0\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\&\color{grey}{将已知矩阵化为上三角矩阵}\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &4\ &2\ &4\ &2\ &1\ &0\ &0\ &0\ \\ &0\ &12\ &0\ &0\ &-2\ &1\ &0\ &0\ \\ &0\ &48\ &96\ &0\ &-8\ &0\ &1\ &0\ \\ &0\ &384\ &1792\ &3968\ &-64\ &0\ &0\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &4\ &2\ &4\ &2\ &1\ &0\ &0\ &0\ \\ &0\ &12\ &0\ &0\ &-2\ &1\ &0\ &0\ \\ &0\ &0\ &96\ &0\ &0\ &-4\ &1\ &0\ \\ &0\ &0\ &1792\ &3968\ &0\ &-32\ &0\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &4\ &2\ &4\ &2\ &1\ &0\ &0\ &0\ \\ &0\ &12\ &0\ &0\ &-2\ &1\ &0\ &0\ \\ &0\ &0\ &96\ &0\ &0\ &-4\ &1\ &0\ \\ &0\ &0\ &0\ &3968\ &0\ &\frac{128}{3}\ &-\frac{56}{3}\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\&\color{grey}{将对角线以上的元素化为0}\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &4\ &2\ &4\ &0\ &1\ &-\frac{2}{93}\ &\frac{7}{744}\ &-\frac{1}{1984}\ \\ &0\ &12\ &0\ &0\ &-2\ &1\ &0\ &0\ \\ &0\ &0\ &96\ &0\ &0\ &-4\ &1\ &0\ \\ &0\ &0\ &0\ &3968\ &0\ &\frac{128}{3}\ &-\frac{56}{3}\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &4\ &2\ &0\ &0\ &1\ &\frac{9}{62}\ &-\frac{1}{31}\ &-\frac{1}{1984}\ \\ &0\ &12\ &0\ &0\ &-2\ &1\ &0\ &0\ \\ &0\ &0\ &96\ &0\ &0\ &-4\ &1\ &0\ \\ &0\ &0\ &0\ &3968\ &0\ &\frac{128}{3}\ &-\frac{56}{3}\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &4\ &0\ &0\ &0\ &\frac{4}{3}\ &-\frac{2}{93}\ &-\frac{1}{31}\ &-\frac{1}{1984}\ \\ &0\ &12\ &0\ &0\ &-2\ &1\ &0\ &0\ \\ &0\ &0\ &96\ &0\ &0\ &-4\ &1\ &0\ \\ &0\ &0\ &0\ &3968\ &0\ &\frac{128}{3}\ &-\frac{56}{3}\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\&\color{grey}{将主对角线元素化为1}\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &1\ &0\ &0\ &0\ &\frac{1}{3}\ &-\frac{1}{186}\ &-\frac{1}{124}\ &-\frac{1}{7936}\ \\ &0\ &12\ &0\ &0\ &-2\ &1\ &0\ &0\ \\ &0\ &0\ &96\ &0\ &0\ &-4\ &1\ &0\ \\ &0\ &0\ &0\ &3968\ &0\ &\frac{128}{3}\ &-\frac{56}{3}\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &1\ &0\ &0\ &0\ &\frac{1}{3}\ &-\frac{1}{186}\ &-\frac{1}{124}\ &-\frac{1}{7936}\ \\ &0\ &1\ &0\ &0\ &-\frac{1}{6}\ &\frac{1}{12}\ &0\ &0\ \\ &0\ &0\ &96\ &0\ &0\ &-4\ &1\ &0\ \\ &0\ &0\ &0\ &3968\ &0\ &\frac{128}{3}\ &-\frac{56}{3}\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &1\ &0\ &0\ &0\ &\frac{1}{3}\ &-\frac{1}{186}\ &-\frac{1}{124}\ &-\frac{1}{7936}\ \\ &0\ &1\ &0\ &0\ &-\frac{1}{6}\ &\frac{1}{12}\ &0\ &0\ \\ &0\ &0\ &1\ &0\ &0\ &-\frac{1}{24}\ &\frac{1}{96}\ &0\ \\ &0\ &0\ &0\ &3968\ &0\ &\frac{128}{3}\ &-\frac{56}{3}\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &1\ &0\ &0\ &0\ &\frac{1}{3}\ &-\frac{1}{186}\ &-\frac{1}{124}\ &-\frac{1}{7936}\ \\ &0\ &1\ &0\ &0\ &-\frac{1}{6}\ &\frac{1}{12}\ &0\ &0\ \\ &0\ &0\ &1\ &0\ &0\ &-\frac{1}{24}\ &\frac{1}{96}\ &0\ \\ &0\ &0\ &0\ &1\ &0\ &\frac{1}{93}\ &-\frac{7}{1488}\ &\frac{1}{3968}\ \\\end{array} \right )\\\\&\color{grey}{所求的逆矩阵为：}\\&\begin{pmatrix} &\frac{1}{3}\ &-\frac{1}{186}\ &-\frac{1}{124}\ &-\frac{1}{7936}\ \\ &-\frac{1}{6}\ &\frac{1}{12}\ &0\ &0\ \\ &0\ &-\frac{1}{24}\ &\frac{1}{96}\ &0\ \\ &0\ &\frac{1}{93}\ &-\frac{7}{1488}\ &\frac{1}{3968}\ \end{pmatrix}\end{aligned}$$
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矩阵的初等变换：
定义：对矩阵的行（列）施行下列三种变换都成为矩阵的初等变换：
（1）互换矩阵两行（列）的位置；
（2）用非零常数λ乘矩阵的某行（列）；
（3）将矩阵某行（列）的γ倍加到矩阵的另一行（列）上。
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