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求逆矩阵:
输入一个可逆矩阵,每个元用逗号隔开,每行用分号结尾。
注意,不支持支持数学函数和变量。
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求逆矩阵
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逆矩阵计算历史
>答案
$$\begin{aligned}&\\ \color{black}{计算矩阵}& \ \ \begin{pmatrix} &3\ &-2\ &0\ &-1\ \\ &0\ &2\ &2\ &1\ \\ &1\ &-2\ &-3\ &-2\ \\ &0\ &1\ &2\ &1\ \end{pmatrix}\color{black}{的逆矩阵。}\\ \\解:&\\ &\begin{pmatrix} &3\ &-2\ &0\ &-1\ \\ &0\ &2\ &2\ &1\ \\ &1\ &-2\ &-3\ &-2\ \\ &0\ &1\ &2\ &1\ \end{pmatrix}\\\\&\color{grey}{用矩阵的初等变换来求逆矩阵:}\\&\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &3\ &-2\ &0\ &-1\ &1\ &0\ &0\ &0\ \\ &0\ &2\ &2\ &1\ &0\ &1\ &0\ &0\ \\ &1\ &-2\ &-3\ &-2\ &0\ &0\ &1\ &0\ \\ &0\ &1\ &2\ &1\ &0\ &0\ &0\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\&\color{grey}{将已知矩阵化为上三角矩阵}\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &3\ &-2\ &0\ &-1\ &1\ &0\ &0\ &0\ \\ &0\ &2\ &2\ &1\ &0\ &1\ &0\ &0\ \\ &0\ &-\frac{4}{3}\ &-3\ &-\frac{5}{3}\ &-\frac{1}{3}\ &0\ &1\ &0\ \\ &0\ &1\ &2\ &1\ &0\ &0\ &0\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &3\ &-2\ &0\ &-1\ &1\ &0\ &0\ &0\ \\ &0\ &2\ &2\ &1\ &0\ &1\ &0\ &0\ \\ &0\ &0\ &-\frac{5}{3}\ &-1\ &-\frac{1}{3}\ &\frac{2}{3}\ &1\ &0\ \\ &0\ &0\ &1\ &\frac{1}{2}\ &0\ &-\frac{1}{2}\ &0\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &3\ &-2\ &0\ &-1\ &1\ &0\ &0\ &0\ \\ &0\ &2\ &2\ &1\ &0\ &1\ &0\ &0\ \\ &0\ &0\ &-\frac{5}{3}\ &-1\ &-\frac{1}{3}\ &\frac{2}{3}\ &1\ &0\ \\ &0\ &0\ &0\ &-\frac{1}{10}\ &-\frac{1}{5}\ &-\frac{1}{10}\ &\frac{3}{5}\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\&\color{grey}{将对角线以上的元素化为0}\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &3\ &-2\ &0\ &0\ &3\ &1\ &-6\ &-10\ \\ &0\ &2\ &2\ &0\ &-2\ &0\ &6\ &10\ \\ &0\ &0\ &-\frac{5}{3}\ &0\ &\frac{5}{3}\ &\frac{5}{3}\ &-5\ &-10\ \\ &0\ &0\ &0\ &-\frac{1}{10}\ &-\frac{1}{5}\ &-\frac{1}{10}\ &\frac{3}{5}\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &3\ &-2\ &0\ &0\ &3\ &1\ &-6\ &-10\ \\ &0\ &2\ &0\ &0\ &0\ &2\ &0\ &-2\ \\ &0\ &0\ &-\frac{5}{3}\ &0\ &\frac{5}{3}\ &\frac{5}{3}\ &-5\ &-10\ \\ &0\ &0\ &0\ &-\frac{1}{10}\ &-\frac{1}{5}\ &-\frac{1}{10}\ &\frac{3}{5}\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &3\ &0\ &0\ &0\ &3\ &3\ &-6\ &-12\ \\ &0\ &2\ &0\ &0\ &0\ &2\ &0\ &-2\ \\ &0\ &0\ &-\frac{5}{3}\ &0\ &\frac{5}{3}\ &\frac{5}{3}\ &-5\ &-10\ \\ &0\ &0\ &0\ &-\frac{1}{10}\ &-\frac{1}{5}\ &-\frac{1}{10}\ &\frac{3}{5}\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\&\color{grey}{将主对角线元素化为1}\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &1\ &0\ &0\ &0\ &1\ &1\ &-2\ &-4\ \\ &0\ &2\ &0\ &0\ &0\ &2\ &0\ &-2\ \\ &0\ &0\ &-\frac{5}{3}\ &0\ &\frac{5}{3}\ &\frac{5}{3}\ &-5\ &-10\ \\ &0\ &0\ &0\ &-\frac{1}{10}\ &-\frac{1}{5}\ &-\frac{1}{10}\ &\frac{3}{5}\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &1\ &0\ &0\ &0\ &1\ &1\ &-2\ &-4\ \\ &0\ &1\ &0\ &0\ &0\ &1\ &0\ &-1\ \\ &0\ &0\ &-\frac{5}{3}\ &0\ &\frac{5}{3}\ &\frac{5}{3}\ &-5\ &-10\ \\ &0\ &0\ &0\ &-\frac{1}{10}\ &-\frac{1}{5}\ &-\frac{1}{10}\ &\frac{3}{5}\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &1\ &0\ &0\ &0\ &1\ &1\ &-2\ &-4\ \\ &0\ &1\ &0\ &0\ &0\ &1\ &0\ &-1\ \\ &0\ &0\ &1\ &0\ &-1\ &-1\ &3\ &6\ \\ &0\ &0\ &0\ &-\frac{1}{10}\ &-\frac{1}{5}\ &-\frac{1}{10}\ &\frac{3}{5}\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &1\ &0\ &0\ &0\ &1\ &1\ &-2\ &-4\ \\ &0\ &1\ &0\ &0\ &0\ &1\ &0\ &-1\ \\ &0\ &0\ &1\ &0\ &-1\ &-1\ &3\ &6\ \\ &0\ &0\ &0\ &1\ &2\ &1\ &-6\ &-10\ \\\end{array} \right )\\\\&\color{grey}{所求的逆矩阵为:}\\&\begin{pmatrix} &1\ &1\ &-2\ &-4\ \\ &0\ &1\ &0\ &-1\ \\ &-1\ &-1\ &3\ &6\ \\ &2\ &1\ &-6\ &-10\ \end{pmatrix}\end{aligned}$$
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矩阵的初等变换:
定义:
对矩阵的行(列)施行下列三种变换都成为矩阵的
初等变换
:
(1)互换矩阵两行(列)的位置;
(2)用非零常数λ乘矩阵的某行(列);
(3)将矩阵某行(列)的γ倍加到矩阵的另一行(列)上。
新增加
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