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求逆矩阵:
输入一个可逆矩阵,每个元用逗号隔开,每行用分号结尾。
注意,不支持支持数学函数和变量。
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求逆矩阵
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逆矩阵计算历史
>答案
$$\begin{aligned}&\\ \color{black}{计算矩阵}& \ \ \begin{pmatrix} &42\ &-20\ &-15\ \\ &-25\ &12\ &9\ \\ &-11\ &5\ &4\ \end{pmatrix}\color{black}{的逆矩阵。}\\ \\解:&\\ &\begin{pmatrix} &42\ &-20\ &-15\ \\ &-25\ &12\ &9\ \\ &-11\ &5\ &4\ \end{pmatrix}\\\\&\color{grey}{用矩阵的初等变换来求逆矩阵:}\\&\left (\begin{array} {cccc | ccc} &42\ &-20\ &-15\ &1\ &0\ &0\ \\ &-25\ &12\ &9\ &0\ &1\ &0\ \\ &-11\ &5\ &4\ &0\ &0\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\&\color{grey}{将已知矩阵化为上三角矩阵}\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {cccc | ccc} &42\ &-20\ &-15\ &1\ &0\ &0\ \\ &0\ &\frac{2}{21}\ &\frac{1}{14}\ &\frac{25}{42}\ &1\ &0\ \\ &0\ &-\frac{5}{21}\ &\frac{1}{14}\ &\frac{11}{42}\ &0\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {cccc | ccc} &42\ &-20\ &-15\ &1\ &0\ &0\ \\ &0\ &\frac{2}{21}\ &\frac{1}{14}\ &\frac{25}{42}\ &1\ &0\ \\ &0\ &0\ &\frac{1}{4}\ &\frac{7}{4}\ &\frac{5}{2}\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\&\color{grey}{将对角线以上的元素化为0}\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {cccc | ccc} &42\ &-20\ &0\ &106\ &150\ &60\ \\ &0\ &\frac{2}{21}\ &0\ &\frac{2}{21}\ &\frac{2}{7}\ &-\frac{2}{7}\ \\ &0\ &0\ &\frac{1}{4}\ &\frac{7}{4}\ &\frac{5}{2}\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {cccc | ccc} &42\ &0\ &0\ &126\ &210\ &0\ \\ &0\ &\frac{2}{21}\ &0\ &\frac{2}{21}\ &\frac{2}{7}\ &-\frac{2}{7}\ \\ &0\ &0\ &\frac{1}{4}\ &\frac{7}{4}\ &\frac{5}{2}\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\&\color{grey}{将主对角线元素化为1}\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {cccc | ccc} &1\ &0\ &0\ &3\ &5\ &0\ \\ &0\ &\frac{2}{21}\ &0\ &\frac{2}{21}\ &\frac{2}{7}\ &-\frac{2}{7}\ \\ &0\ &0\ &\frac{1}{4}\ &\frac{7}{4}\ &\frac{5}{2}\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {cccc | ccc} &1\ &0\ &0\ &3\ &5\ &0\ \\ &0\ &1\ &0\ &1\ &3\ &-3\ \\ &0\ &0\ &\frac{1}{4}\ &\frac{7}{4}\ &\frac{5}{2}\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {cccc | ccc} &1\ &0\ &0\ &3\ &5\ &0\ \\ &0\ &1\ &0\ &1\ &3\ &-3\ \\ &0\ &0\ &1\ &7\ &10\ &4\ \\\end{array} \right )\\\\&\color{grey}{所求的逆矩阵为:}\\&\begin{pmatrix} &3\ &5\ &0\ \\ &1\ &3\ &-3\ \\ &7\ &10\ &4\ \end{pmatrix}\end{aligned}$$
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矩阵的初等变换:
定义:
对矩阵的行(列)施行下列三种变换都成为矩阵的
初等变换
:
(1)互换矩阵两行(列)的位置;
(2)用非零常数λ乘矩阵的某行(列);
(3)将矩阵某行(列)的γ倍加到矩阵的另一行(列)上。
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