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求逆矩阵:
输入一个可逆矩阵,每个元用逗号隔开,每行用分号结尾。
注意,不支持支持数学函数和变量。
当前位置:线性代数 >
求逆矩阵
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逆矩阵计算历史
>答案
$$\begin{aligned}&\\ \color{black}{计算矩阵}& \ \ \begin{pmatrix} &2\ &2\ &-1\ &1\ \\ &4\ &3\ &-1\ &2\ \\ &8\ &5\ &-3\ &4\ \\ &3\ &3\ &-2\ &2\ \end{pmatrix}\color{black}{的逆矩阵。}\\ \\解:&\\ &\begin{pmatrix} &2\ &2\ &-1\ &1\ \\ &4\ &3\ &-1\ &2\ \\ &8\ &5\ &-3\ &4\ \\ &3\ &3\ &-2\ &2\ \end{pmatrix}\\\\&\color{grey}{用矩阵的初等变换来求逆矩阵:}\\&\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &2\ &2\ &-1\ &1\ &1\ &0\ &0\ &0\ \\ &4\ &3\ &-1\ &2\ &0\ &1\ &0\ &0\ \\ &8\ &5\ &-3\ &4\ &0\ &0\ &1\ &0\ \\ &3\ &3\ &-2\ &2\ &0\ &0\ &0\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\&\color{grey}{将已知矩阵化为上三角矩阵}\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &2\ &2\ &-1\ &1\ &1\ &0\ &0\ &0\ \\ &0\ &-1\ &1\ &0\ &-2\ &1\ &0\ &0\ \\ &0\ &-3\ &1\ &0\ &-4\ &0\ &1\ &0\ \\ &0\ &0\ &-\frac{1}{2}\ &\frac{1}{2}\ &-\frac{3}{2}\ &0\ &0\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &2\ &2\ &-1\ &1\ &1\ &0\ &0\ &0\ \\ &0\ &-1\ &1\ &0\ &-2\ &1\ &0\ &0\ \\ &0\ &0\ &-2\ &0\ &2\ &-3\ &1\ &0\ \\ &0\ &0\ &-\frac{1}{2}\ &\frac{1}{2}\ &-\frac{3}{2}\ &0\ &0\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &2\ &2\ &-1\ &1\ &1\ &0\ &0\ &0\ \\ &0\ &-1\ &1\ &0\ &-2\ &1\ &0\ &0\ \\ &0\ &0\ &-2\ &0\ &2\ &-3\ &1\ &0\ \\ &0\ &0\ &0\ &\frac{1}{2}\ &-2\ &\frac{3}{4}\ &-\frac{1}{4}\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\&\color{grey}{将对角线以上的元素化为0}\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &2\ &2\ &-1\ &0\ &5\ &-\frac{3}{2}\ &\frac{1}{2}\ &-2\ \\ &0\ &-1\ &1\ &0\ &-2\ &1\ &0\ &0\ \\ &0\ &0\ &-2\ &0\ &2\ &-3\ &1\ &0\ \\ &0\ &0\ &0\ &\frac{1}{2}\ &-2\ &\frac{3}{4}\ &-\frac{1}{4}\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &2\ &2\ &0\ &0\ &4\ &0\ &0\ &-2\ \\ &0\ &-1\ &0\ &0\ &-1\ &-\frac{1}{2}\ &\frac{1}{2}\ &0\ \\ &0\ &0\ &-2\ &0\ &2\ &-3\ &1\ &0\ \\ &0\ &0\ &0\ &\frac{1}{2}\ &-2\ &\frac{3}{4}\ &-\frac{1}{4}\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &2\ &0\ &0\ &0\ &2\ &-1\ &1\ &-2\ \\ &0\ &-1\ &0\ &0\ &-1\ &-\frac{1}{2}\ &\frac{1}{2}\ &0\ \\ &0\ &0\ &-2\ &0\ &2\ &-3\ &1\ &0\ \\ &0\ &0\ &0\ &\frac{1}{2}\ &-2\ &\frac{3}{4}\ &-\frac{1}{4}\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\&\color{grey}{将主对角线元素化为1}\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &1\ &0\ &0\ &0\ &1\ &-\frac{1}{2}\ &\frac{1}{2}\ &-1\ \\ &0\ &-1\ &0\ &0\ &-1\ &-\frac{1}{2}\ &\frac{1}{2}\ &0\ \\ &0\ &0\ &-2\ &0\ &2\ &-3\ &1\ &0\ \\ &0\ &0\ &0\ &\frac{1}{2}\ &-2\ &\frac{3}{4}\ &-\frac{1}{4}\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &1\ &0\ &0\ &0\ &1\ &-\frac{1}{2}\ &\frac{1}{2}\ &-1\ \\ &0\ &1\ &0\ &0\ &1\ &\frac{1}{2}\ &-\frac{1}{2}\ &0\ \\ &0\ &0\ &-2\ &0\ &2\ &-3\ &1\ &0\ \\ &0\ &0\ &0\ &\frac{1}{2}\ &-2\ &\frac{3}{4}\ &-\frac{1}{4}\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &1\ &0\ &0\ &0\ &1\ &-\frac{1}{2}\ &\frac{1}{2}\ &-1\ \\ &0\ &1\ &0\ &0\ &1\ &\frac{1}{2}\ &-\frac{1}{2}\ &0\ \\ &0\ &0\ &1\ &0\ &-1\ &\frac{3}{2}\ &-\frac{1}{2}\ &0\ \\ &0\ &0\ &0\ &\frac{1}{2}\ &-2\ &\frac{3}{4}\ &-\frac{1}{4}\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &1\ &0\ &0\ &0\ &1\ &-\frac{1}{2}\ &\frac{1}{2}\ &-1\ \\ &0\ &1\ &0\ &0\ &1\ &\frac{1}{2}\ &-\frac{1}{2}\ &0\ \\ &0\ &0\ &1\ &0\ &-1\ &\frac{3}{2}\ &-\frac{1}{2}\ &0\ \\ &0\ &0\ &0\ &1\ &-4\ &\frac{3}{2}\ &-\frac{1}{2}\ &2\ \\\end{array} \right )\\\\&\color{grey}{所求的逆矩阵为:}\\&\begin{pmatrix} &1\ &-\frac{1}{2}\ &\frac{1}{2}\ &-1\ \\ &1\ &\frac{1}{2}\ &-\frac{1}{2}\ &0\ \\ &-1\ &\frac{3}{2}\ &-\frac{1}{2}\ &0\ \\ &-4\ &\frac{3}{2}\ &-\frac{1}{2}\ &2\ \end{pmatrix}\end{aligned}$$
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矩阵的初等变换:
定义:
对矩阵的行(列)施行下列三种变换都成为矩阵的
初等变换
:
(1)互换矩阵两行(列)的位置;
(2)用非零常数λ乘矩阵的某行(列);
(3)将矩阵某行(列)的γ倍加到矩阵的另一行(列)上。
新增加
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