求逆矩阵：
输入一个可逆矩阵，每个元用逗号隔开，每行用分号结尾。
注意，不支持支持数学函数和变量。
输入一个可逆矩阵，每个元用逗号隔开，每行用分号结尾。
注意，不支持支持数学函数和变量。
$$\begin{aligned}&\\ \color{black}{计算矩阵}& \ \ \begin{pmatrix} &7\ &8\ &30\ \\ &3\ &9\ &2\ \\ &8\ &5\ &3\ \end{pmatrix}\color{black}{的逆矩阵。}\\ \\解:&\\ &\begin{pmatrix} &7\ &8\ &30\ \\ &3\ &9\ &2\ \\ &8\ &5\ &3\ \end{pmatrix}\\\\&\color{grey}{用矩阵的初等变换来求逆矩阵：}\\&\left (\begin{array} {cccc | ccc} &7\ &8\ &30\ &1\ &0\ &0\ \\ &3\ &9\ &2\ &0\ &1\ &0\ \\ &8\ &5\ &3\ &0\ &0\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\&\color{grey}{将已知矩阵化为上三角矩阵}\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {cccc | ccc} &7\ &8\ &30\ &1\ &0\ &0\ \\ &0\ &\frac{39}{7}\ &-\frac{76}{7}\ &-\frac{3}{7}\ &1\ &0\ \\ &0\ &-\frac{29}{7}\ &-\frac{219}{7}\ &-\frac{8}{7}\ &0\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {cccc | ccc} &7\ &8\ &30\ &1\ &0\ &0\ \\ &0\ &\frac{39}{7}\ &-\frac{76}{7}\ &-\frac{3}{7}\ &1\ &0\ \\ &0\ &0\ &-\frac{1535}{39}\ &-\frac{19}{13}\ &\frac{29}{39}\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\&\color{grey}{将对角线以上的元素化为0}\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {cccc | ccc} &7\ &8\ &0\ &-\frac{35}{307}\ &\frac{174}{307}\ &\frac{234}{307}\ \\ &0\ &\frac{39}{7}\ &0\ &-\frac{39}{1535}\ &\frac{8541}{10745}\ &-\frac{2964}{10745}\ \\ &0\ &0\ &-\frac{1535}{39}\ &-\frac{19}{13}\ &\frac{29}{39}\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {cccc | ccc} &7\ &0\ &0\ &-\frac{36533}{471245}\ &-\frac{882}{1535}\ &\frac{1778}{1535}\ \\ &0\ &\frac{39}{7}\ &0\ &-\frac{39}{1535}\ &\frac{8541}{10745}\ &-\frac{2964}{10745}\ \\ &0\ &0\ &-\frac{1535}{39}\ &-\frac{19}{13}\ &\frac{29}{39}\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\&\color{grey}{将主对角线元素化为1}\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {cccc | ccc} &1\ &0\ &0\ &-\frac{5219}{471245}\ &-\frac{126}{1535}\ &\frac{254}{1535}\ \\ &0\ &\frac{39}{7}\ &0\ &-\frac{39}{1535}\ &\frac{8541}{10745}\ &-\frac{2964}{10745}\ \\ &0\ &0\ &-\frac{1535}{39}\ &-\frac{19}{13}\ &\frac{29}{39}\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {cccc | ccc} &1\ &0\ &0\ &-\frac{5219}{471245}\ &-\frac{126}{1535}\ &\frac{254}{1535}\ \\ &0\ &1\ &0\ &-\frac{7}{1535}\ &\frac{219}{1535}\ &-\frac{76}{1535}\ \\ &0\ &0\ &-\frac{1535}{39}\ &-\frac{19}{13}\ &\frac{29}{39}\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {cccc | ccc} &1\ &0\ &0\ &-\frac{5219}{471245}\ &-\frac{126}{1535}\ &\frac{254}{1535}\ \\ &0\ &1\ &0\ &-\frac{7}{1535}\ &\frac{219}{1535}\ &-\frac{76}{1535}\ \\ &0\ &0\ &1\ &\frac{57}{1535}\ &-\frac{29}{1535}\ &-\frac{39}{1535}\ \\\end{array} \right )\\\\&\color{grey}{所求的逆矩阵为：}\\&\begin{pmatrix} &-\frac{5219}{471245}\ &-\frac{126}{1535}\ &\frac{254}{1535}\ \\ &-\frac{7}{1535}\ &\frac{219}{1535}\ &-\frac{76}{1535}\ \\ &\frac{57}{1535}\ &-\frac{29}{1535}\ &-\frac{39}{1535}\ \end{pmatrix}\end{aligned}$$
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矩阵的初等变换：
定义：对矩阵的行（列）施行下列三种变换都成为矩阵的初等变换：
（1）互换矩阵两行（列）的位置；
（2）用非零常数λ乘矩阵的某行（列）；
（3）将矩阵某行（列）的γ倍加到矩阵的另一行（列）上。
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