求逆矩阵：
输入一个可逆矩阵，每个元用逗号隔开，每行用分号结尾。
注意，不支持支持数学函数和变量。
输入一个可逆矩阵，每个元用逗号隔开，每行用分号结尾。
注意，不支持支持数学函数和变量。
$$\begin{aligned}&\\ \color{black}{计算矩阵}& \ \ \begin{pmatrix} &12\ &34\ &1\ &2\ &3\ &4\ \\ &56\ &78\ &5\ &6\ &7\ &8\ \\ &13\ &57\ &1\ &3\ &5\ &7\ \\ &24\ &68\ &2\ &4\ &6\ &8\ \\ &15\ &26\ &1\ &5\ &2\ &6\ \\ &37\ &48\ &3\ &7\ &4\ &8\ \end{pmatrix}\color{black}{的逆矩阵。}\\ \\解:&\\ &\begin{pmatrix} &12\ &34\ &1\ &2\ &3\ &4\ \\ &56\ &78\ &5\ &6\ &7\ &8\ \\ &13\ &57\ &1\ &3\ &5\ &7\ \\ &24\ &68\ &2\ &4\ &6\ &8\ \\ &15\ &26\ &1\ &5\ &2\ &6\ \\ &37\ &48\ &3\ &7\ &4\ &8\ \end{pmatrix}\\\\&\color{grey}{用矩阵的初等变换来求逆矩阵：}\\&\left (\begin{array} {ccccccc | cccccc} &12\ &34\ &1\ &2\ &3\ &4\ &1\ &0\ &0\ &0\ &0\ &0\ \\ &56\ &78\ &5\ &6\ &7\ &8\ &0\ &1\ &0\ &0\ &0\ &0\ \\ &13\ &57\ &1\ &3\ &5\ &7\ &0\ &0\ &1\ &0\ &0\ &0\ \\ &24\ &68\ &2\ &4\ &6\ &8\ &0\ &0\ &0\ &1\ &0\ &0\ \\ &15\ &26\ &1\ &5\ &2\ &6\ &0\ &0\ &0\ &0\ &1\ &0\ \\ &37\ &48\ &3\ &7\ &4\ &8\ &0\ &0\ &0\ &0\ &0\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\&\color{grey}{将已知矩阵化为上三角矩阵}\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccccc | cccccc} &12\ &34\ &1\ &2\ &3\ &4\ &1\ &0\ &0\ &0\ &0\ &0\ \\ &0\ &-\frac{242}{3}\ &\frac{1}{3}\ &-\frac{10}{3}\ &-7\ &-\frac{32}{3}\ &-\frac{14}{3}\ &1\ &0\ &0\ &0\ &0\ \\ &0\ &\frac{121}{6}\ &-\frac{1}{12}\ &\frac{5}{6}\ &\frac{7}{4}\ &\frac{8}{3}\ &-\frac{13}{12}\ &0\ &1\ &0\ &0\ &0\ \\ &0\ &0\ &0\ &0\ &0\ &0\ &-2\ &0\ &0\ &1\ &0\ &0\ \\ &0\ &-\frac{33}{2}\ &-\frac{1}{4}\ &\frac{5}{2}\ &-\frac{7}{4}\ &1\ &-\frac{5}{4}\ &0\ &0\ &0\ &1\ &0\ \\ &0\ &-\frac{341}{6}\ &-\frac{1}{12}\ &\frac{5}{6}\ &-\frac{21}{4}\ &-\frac{13}{3}\ &-\frac{37}{12}\ &0\ &0\ &0\ &0\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccccc | cccccc} &12\ &34\ &1\ &2\ &3\ &4\ &1\ &0\ &0\ &0\ &0\ &0\ \\ &0\ &-\frac{242}{3}\ &\frac{1}{3}\ &-\frac{10}{3}\ &-7\ &-\frac{32}{3}\ &-\frac{14}{3}\ &1\ &0\ &0\ &0\ &0\ \\ &0\ &0\ &0\ &0\ &0\ &0\ &-\frac{9}{4}\ &\frac{1}{4}\ &1\ &0\ &0\ &0\ \\ &0\ &0\ &0\ &0\ &0\ &0\ &-2\ &0\ &0\ &1\ &0\ &0\ \\ &0\ &0\ &-\frac{7}{22}\ &\frac{35}{11}\ &-\frac{7}{22}\ &\frac{35}{11}\ &-\frac{13}{44}\ &-\frac{9}{44}\ &0\ &0\ &1\ &0\ \\ &0\ &0\ &-\frac{7}{22}\ &\frac{35}{11}\ &-\frac{7}{22}\ &\frac{35}{11}\ &\frac{9}{44}\ &-\frac{31}{44}\ &0\ &0\ &0\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccccc | cccccc} &12\ &34\ &1\ &2\ &3\ &4\ &1\ &0\ &0\ &0\ &0\ &0\ \\ &0\ &-\frac{242}{3}\ &\frac{1}{3}\ &-\frac{10}{3}\ &-7\ &-\frac{32}{3}\ &-\frac{14}{3}\ &1\ &0\ &0\ &0\ &0\ \\ &0\ &0\ &-\frac{7}{22}\ &\frac{35}{11}\ &-\frac{7}{22}\ &\frac{35}{11}\ &-\frac{13}{44}\ &-\frac{9}{44}\ &0\ &0\ &1\ &0\ \\ &0\ &0\ &0\ &0\ &0\ &0\ &-2\ &0\ &0\ &1\ &0\ &0\ \\ &0\ &0\ &0\ &0\ &0\ &0\ &-\frac{9}{4}\ &\frac{1}{4}\ &1\ &0\ &0\ &0\ \\ &0\ &0\ &0\ &0\ &0\ &0\ &\frac{1}{2}\ &-\frac{1}{2}\ &0\ &0\ &-1\ &1\ \\\end{array} \right )\\\ \ &\color{red}{该矩阵为不可逆矩阵。}\end{aligned}$$
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矩阵的初等变换：
定义：对矩阵的行（列）施行下列三种变换都成为矩阵的初等变换：
（1）互换矩阵两行（列）的位置；
（2）用非零常数λ乘矩阵的某行（列）；
（3）将矩阵某行（列）的γ倍加到矩阵的另一行（列）上。
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