求逆矩阵：
输入一个可逆矩阵，每个元用逗号隔开，每行用分号结尾。
注意，不支持支持数学函数和变量。
输入一个可逆矩阵，每个元用逗号隔开，每行用分号结尾。
注意，不支持支持数学函数和变量。
$$\begin{aligned}&\\ \color{black}{计算矩阵}& \ \ \begin{pmatrix} &-1\ &1\ &1\ &1\ \\ &1\ &-1\ &1\ &1\ \\ &1\ &1\ &-1\ &1\ \\ &1\ &1\ &1\ &-1\ \end{pmatrix}\color{black}{的逆矩阵。}\\ \\解:&\\ &\begin{pmatrix} &-1\ &1\ &1\ &1\ \\ &1\ &-1\ &1\ &1\ \\ &1\ &1\ &-1\ &1\ \\ &1\ &1\ &1\ &-1\ \end{pmatrix}\\\\&\color{grey}{用矩阵的初等变换来求逆矩阵：}\\&\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &-1\ &1\ &1\ &1\ &1\ &0\ &0\ &0\ \\ &1\ &-1\ &1\ &1\ &0\ &1\ &0\ &0\ \\ &1\ &1\ &-1\ &1\ &0\ &0\ &1\ &0\ \\ &1\ &1\ &1\ &-1\ &0\ &0\ &0\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\&\color{grey}{将已知矩阵化为上三角矩阵}\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &-1\ &1\ &1\ &1\ &1\ &0\ &0\ &0\ \\ &0\ &0\ &2\ &2\ &1\ &1\ &0\ &0\ \\ &0\ &2\ &0\ &2\ &1\ &0\ &1\ &0\ \\ &0\ &2\ &2\ &0\ &1\ &0\ &0\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &-1\ &1\ &1\ &1\ &1\ &0\ &0\ &0\ \\ &0\ &2\ &0\ &2\ &1\ &0\ &1\ &0\ \\ &0\ &0\ &2\ &2\ &1\ &1\ &0\ &0\ \\ &0\ &0\ &2\ &-2\ &0\ &0\ &-1\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &-1\ &1\ &1\ &1\ &1\ &0\ &0\ &0\ \\ &0\ &2\ &0\ &2\ &1\ &0\ &1\ &0\ \\ &0\ &0\ &2\ &2\ &1\ &1\ &0\ &0\ \\ &0\ &0\ &0\ &-4\ &-1\ &-1\ &-1\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\&\color{grey}{将对角线以上的元素化为0}\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &-1\ &1\ &1\ &0\ &\frac{3}{4}\ &-\frac{1}{4}\ &-\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ \\ &0\ &2\ &0\ &0\ &\frac{1}{2}\ &-\frac{1}{2}\ &\frac{1}{2}\ &\frac{1}{2}\ \\ &0\ &0\ &2\ &0\ &\frac{1}{2}\ &\frac{1}{2}\ &-\frac{1}{2}\ &\frac{1}{2}\ \\ &0\ &0\ &0\ &-4\ &-1\ &-1\ &-1\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &-1\ &1\ &0\ &0\ &\frac{1}{2}\ &-\frac{1}{2}\ &0\ &0\ \\ &0\ &2\ &0\ &0\ &\frac{1}{2}\ &-\frac{1}{2}\ &\frac{1}{2}\ &\frac{1}{2}\ \\ &0\ &0\ &2\ &0\ &\frac{1}{2}\ &\frac{1}{2}\ &-\frac{1}{2}\ &\frac{1}{2}\ \\ &0\ &0\ &0\ &-4\ &-1\ &-1\ &-1\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &-1\ &0\ &0\ &0\ &\frac{1}{4}\ &-\frac{1}{4}\ &-\frac{1}{4}\ &-\frac{1}{4}\ \\ &0\ &2\ &0\ &0\ &\frac{1}{2}\ &-\frac{1}{2}\ &\frac{1}{2}\ &\frac{1}{2}\ \\ &0\ &0\ &2\ &0\ &\frac{1}{2}\ &\frac{1}{2}\ &-\frac{1}{2}\ &\frac{1}{2}\ \\ &0\ &0\ &0\ &-4\ &-1\ &-1\ &-1\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\&\color{grey}{将主对角线元素化为1}\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &1\ &0\ &0\ &0\ &-\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ \\ &0\ &2\ &0\ &0\ &\frac{1}{2}\ &-\frac{1}{2}\ &\frac{1}{2}\ &\frac{1}{2}\ \\ &0\ &0\ &2\ &0\ &\frac{1}{2}\ &\frac{1}{2}\ &-\frac{1}{2}\ &\frac{1}{2}\ \\ &0\ &0\ &0\ &-4\ &-1\ &-1\ &-1\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &1\ &0\ &0\ &0\ &-\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ \\ &0\ &1\ &0\ &0\ &\frac{1}{4}\ &-\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ \\ &0\ &0\ &2\ &0\ &\frac{1}{2}\ &\frac{1}{2}\ &-\frac{1}{2}\ &\frac{1}{2}\ \\ &0\ &0\ &0\ &-4\ &-1\ &-1\ &-1\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &1\ &0\ &0\ &0\ &-\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ \\ &0\ &1\ &0\ &0\ &\frac{1}{4}\ &-\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ \\ &0\ &0\ &1\ &0\ &\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ &-\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ \\ &0\ &0\ &0\ &-4\ &-1\ &-1\ &-1\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &1\ &0\ &0\ &0\ &-\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ \\ &0\ &1\ &0\ &0\ &\frac{1}{4}\ &-\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ \\ &0\ &0\ &1\ &0\ &\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ &-\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ \\ &0\ &0\ &0\ &1\ &\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ &-\frac{1}{4}\ \\\end{array} \right )\\\\&\color{grey}{所求的逆矩阵为：}\\&\begin{pmatrix} &-\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ \\ &\frac{1}{4}\ &-\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ \\ &\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ &-\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ \\ &\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ &\frac{1}{4}\ &-\frac{1}{4}\ \end{pmatrix}\end{aligned}$$
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矩阵的初等变换：
定义：对矩阵的行（列）施行下列三种变换都成为矩阵的初等变换：
（1）互换矩阵两行（列）的位置；
（2）用非零常数λ乘矩阵的某行（列）；
（3）将矩阵某行（列）的γ倍加到矩阵的另一行（列）上。
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