求逆矩阵：
输入一个可逆矩阵，每个元用逗号隔开，每行用分号结尾。
注意，不支持支持数学函数和变量。
输入一个可逆矩阵，每个元用逗号隔开，每行用分号结尾。
注意，不支持支持数学函数和变量。
$$\begin{aligned}&\\ \color{black}{计算矩阵}& \ \ \begin{pmatrix} &1\ &5\ &4\ &7\ \\ &6\ &3\ &9\ &8\ \\ &4\ &4\ &7\ &5\ \\ &5\ &1\ &8\ &4\ \end{pmatrix}\color{black}{的逆矩阵。}\\ \\解:&\\ &\begin{pmatrix} &1\ &5\ &4\ &7\ \\ &6\ &3\ &9\ &8\ \\ &4\ &4\ &7\ &5\ \\ &5\ &1\ &8\ &4\ \end{pmatrix}\\\\&\color{grey}{用矩阵的初等变换来求逆矩阵：}\\&\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &1\ &5\ &4\ &7\ &1\ &0\ &0\ &0\ \\ &6\ &3\ &9\ &8\ &0\ &1\ &0\ &0\ \\ &4\ &4\ &7\ &5\ &0\ &0\ &1\ &0\ \\ &5\ &1\ &8\ &4\ &0\ &0\ &0\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\&\color{grey}{将已知矩阵化为上三角矩阵}\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &1\ &5\ &4\ &7\ &1\ &0\ &0\ &0\ \\ &0\ &-27\ &-15\ &-34\ &-6\ &1\ &0\ &0\ \\ &0\ &-16\ &-9\ &-23\ &-4\ &0\ &1\ &0\ \\ &0\ &-24\ &-12\ &-31\ &-5\ &0\ &0\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &1\ &5\ &4\ &7\ &1\ &0\ &0\ &0\ \\ &0\ &-27\ &-15\ &-34\ &-6\ &1\ &0\ &0\ \\ &0\ &0\ &-\frac{1}{9}\ &-\frac{77}{27}\ &-\frac{4}{9}\ &-\frac{16}{27}\ &1\ &0\ \\ &0\ &0\ &\frac{4}{3}\ &-\frac{7}{9}\ &\frac{1}{3}\ &-\frac{8}{9}\ &0\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &1\ &5\ &4\ &7\ &1\ &0\ &0\ &0\ \\ &0\ &-27\ &-15\ &-34\ &-6\ &1\ &0\ &0\ \\ &0\ &0\ &-\frac{1}{9}\ &-\frac{77}{27}\ &-\frac{4}{9}\ &-\frac{16}{27}\ &1\ &0\ \\ &0\ &0\ &0\ &-35\ &-5\ &-8\ &12\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\&\color{grey}{将对角线以上的元素化为0}\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &1\ &5\ &4\ &0\ &0\ &-\frac{8}{5}\ &\frac{12}{5}\ &\frac{1}{5}\ \\ &0\ &-27\ &-15\ &0\ &-\frac{8}{7}\ &\frac{307}{35}\ &-\frac{408}{35}\ &-\frac{34}{35}\ \\ &0\ &0\ &-\frac{1}{9}\ &0\ &-\frac{1}{27}\ &\frac{8}{135}\ &\frac{1}{45}\ &-\frac{11}{135}\ \\ &0\ &0\ &0\ &-35\ &-5\ &-8\ &12\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &1\ &5\ &0\ &0\ &-\frac{4}{3}\ &\frac{8}{15}\ &\frac{16}{5}\ &-\frac{41}{15}\ \\ &0\ &-27\ &0\ &0\ &\frac{27}{7}\ &\frac{27}{35}\ &-\frac{513}{35}\ &\frac{351}{35}\ \\ &0\ &0\ &-\frac{1}{9}\ &0\ &-\frac{1}{27}\ &\frac{8}{135}\ &\frac{1}{45}\ &-\frac{11}{135}\ \\ &0\ &0\ &0\ &-35\ &-5\ &-8\ &12\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &1\ &0\ &0\ &0\ &-\frac{13}{21}\ &\frac{71}{105}\ &\frac{17}{35}\ &-\frac{92}{105}\ \\ &0\ &-27\ &0\ &0\ &\frac{27}{7}\ &\frac{27}{35}\ &-\frac{513}{35}\ &\frac{351}{35}\ \\ &0\ &0\ &-\frac{1}{9}\ &0\ &-\frac{1}{27}\ &\frac{8}{135}\ &\frac{1}{45}\ &-\frac{11}{135}\ \\ &0\ &0\ &0\ &-35\ &-5\ &-8\ &12\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\&\color{grey}{将主对角线元素化为1}\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &1\ &0\ &0\ &0\ &-\frac{13}{21}\ &\frac{71}{105}\ &\frac{17}{35}\ &-\frac{92}{105}\ \\ &0\ &1\ &0\ &0\ &-\frac{1}{7}\ &-\frac{1}{35}\ &\frac{19}{35}\ &-\frac{13}{35}\ \\ &0\ &0\ &-\frac{1}{9}\ &0\ &-\frac{1}{27}\ &\frac{8}{135}\ &\frac{1}{45}\ &-\frac{11}{135}\ \\ &0\ &0\ &0\ &-35\ &-5\ &-8\ &12\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &1\ &0\ &0\ &0\ &-\frac{13}{21}\ &\frac{71}{105}\ &\frac{17}{35}\ &-\frac{92}{105}\ \\ &0\ &1\ &0\ &0\ &-\frac{1}{7}\ &-\frac{1}{35}\ &\frac{19}{35}\ &-\frac{13}{35}\ \\ &0\ &0\ &1\ &0\ &\frac{1}{3}\ &-\frac{8}{15}\ &-\frac{1}{5}\ &\frac{11}{15}\ \\ &0\ &0\ &0\ &-35\ &-5\ &-8\ &12\ &1\ \\\end{array} \right )\\\\->\ \ &\left (\begin{array} {ccccc | cccc} &1\ &0\ &0\ &0\ &-\frac{13}{21}\ &\frac{71}{105}\ &\frac{17}{35}\ &-\frac{92}{105}\ \\ &0\ &1\ &0\ &0\ &-\frac{1}{7}\ &-\frac{1}{35}\ &\frac{19}{35}\ &-\frac{13}{35}\ \\ &0\ &0\ &1\ &0\ &\frac{1}{3}\ &-\frac{8}{15}\ &-\frac{1}{5}\ &\frac{11}{15}\ \\ &0\ &0\ &0\ &1\ &\frac{1}{7}\ &\frac{8}{35}\ &-\frac{12}{35}\ &-\frac{1}{35}\ \\\end{array} \right )\\\\&\color{grey}{所求的逆矩阵为：}\\&\begin{pmatrix} &-\frac{13}{21}\ &\frac{71}{105}\ &\frac{17}{35}\ &-\frac{92}{105}\ \\ &-\frac{1}{7}\ &-\frac{1}{35}\ &\frac{19}{35}\ &-\frac{13}{35}\ \\ &\frac{1}{3}\ &-\frac{8}{15}\ &-\frac{1}{5}\ &\frac{11}{15}\ \\ &\frac{1}{7}\ &\frac{8}{35}\ &-\frac{12}{35}\ &-\frac{1}{35}\ \end{pmatrix}\end{aligned}$$
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矩阵的初等变换：
定义：对矩阵的行（列）施行下列三种变换都成为矩阵的初等变换：
（1）互换矩阵两行（列）的位置；
（2）用非零常数λ乘矩阵的某行（列）；
（3）将矩阵某行（列）的γ倍加到矩阵的另一行（列）上。
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