求解函数$f(x)=x^2$在$x=1$处的导数值、切线方程和法线方程。
解:
1、在$x=1$处的导数值:
$f(x)=x^2$的导函数为
$$
f'(x)=2x
$$
当$x=1$时,对应的导函数的值即为$f(x)$在$x=1$处的导数值:
$$
f'(2)=2
$$
即,在$x=1$处的导数值为$2$
2、在$x=1$处的切线方程:
此处切线方程的斜率即为导数值$k=2$
所以,可以设切线方程为
$$
y=2x+b
$$
因为$f(1)=1$,所以该直线过$(1,1)$点。
将该点的坐标代入直线方程得
$$
\begin{align}
1=&2+b\\
=> b=&-1
\end{align}
$$
所以,所求的切线方程为
$$
y=2x-1
$$
3、在x=1处的法线方程:
法线方程的斜率与切线方程的斜率互为负倒数,所以法线方程的斜率为$-\frac 12$
设法线方程为
$$
y=-\frac 12x+b
$$
因为$f(1)=1$,所以,该法线过$(1,1)$点。
把$(1,1)$点的坐标代入法线方程得:
\begin{align}
1=&-\frac 12\times 1 + b\\
=>b=&\frac 32
\end{align}
所以,所求的法线方程为:
$$
y=-\frac 12x+\frac 32
$$