行列式：
输入一个行列式，每个元用逗号隔开，每行用分号结尾。
注意，不支持支持数学函数和变量。
输入一个行列式，每个元用逗号隔开，每行用分号结尾。
注意，不支持支持数学函数和变量。
$$ \begin{aligned}&\\ \color{black}{计算行列}& \color{black}{式\ \ \begin{vmatrix} &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ &4 &5 &6 &7 &8 &9 &1 &2 &3\\ &7 &8 &9 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &1\\ &5 &6 &7 &8 &9 &1 &2 &3 &4\\ &8 &9 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &1 &2\\ &6 &7 &8 &9 &1 &2 &3 &4 &5\\ &9 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\\end{vmatrix} \ \ 。}\\解：&\\&\begin{vmatrix} &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ &4 &5 &6 &7 &8 &9 &1 &2 &3\\ &7 &8 &9 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &1\\ &5 &6 &7 &8 &9 &1 &2 &3 &4\\ &8 &9 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &1 &2\\ &6 &7 &8 &9 &1 &2 &3 &4 &5\\ &9 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\\end{vmatrix}\\\\ &\color{grey}{第\ 1\ 列的第\ 2\ 行的元与第\ 1\ 行的元的比值为\ 4\ ,将第\ 2\ 行\ -\ 4\ ×\ 第\ 1\ 行} \\\\\ =\ &\begin{vmatrix} &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ &0 &-3 &-6 &-9 &-12 &-15 &-27 &-30 &-33\\ &7 &8 &9 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &1\\ &5 &6 &7 &8 &9 &1 &2 &3 &4\\ &8 &9 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &1 &2\\ &6 &7 &8 &9 &1 &2 &3 &4 &5\\ &9 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\\end{vmatrix}\\\\ &\color{grey}{第\ 1\ 列的第\ 3\ 行的元与第\ 1\ 行的元的比值为\ 7\ ,将第\ 3\ 行\ -\ 7\ ×\ 第\ 1\ 行} \\\\\ =\ &\begin{vmatrix} &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ &0 &-3 &-6 &-9 &-12 &-15 &-27 &-30 &-33\\ &0 &-6 &-12 &-27 &-33 &-39 &-45 &-51 &-57\\ &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &1\\ &5 &6 &7 &8 &9 &1 &2 &3 &4\\ &8 &9 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &1 &2\\ &6 &7 &8 &9 &1 &2 &3 &4 &5\\ &9 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\\end{vmatrix}\\\\ &\color{grey}{第\ 1\ 列的第\ 4\ 行的元与第\ 1\ 行的元的比值为\ 2\ ,将第\ 4\ 行\ -\ 2\ ×\ 第\ 1\ 行} \\\\\ =\ &\begin{vmatrix} &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ &0 &-3 &-6 &-9 &-12 &-15 &-27 &-30 &-33\\ &0 &-6 &-12 &-27 &-33 &-39 &-45 &-51 &-57\\ &0 &-1 &-2 &-3 &-4 &-5 &-6 &-7 &-17\\ &5 &6 &7 &8 &9 &1 &2 &3 &4\\ &8 &9 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &1 &2\\ &6 &7 &8 &9 &1 &2 &3 &4 &5\\ &9 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\\end{vmatrix}\\\\ &\color{grey}{第\ 1\ 列的第\ 5\ 行的元与第\ 1\ 行的元的比值为\ 5\ ,将第\ 5\ 行\ -\ 5\ ×\ 第\ 1\ 行} \\\\\ =\ &\begin{vmatrix} &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ &0 &-3 &-6 &-9 &-12 &-15 &-27 &-30 &-33\\ &0 &-6 &-12 &-27 &-33 &-39 &-45 &-51 &-57\\ &0 &-1 &-2 &-3 &-4 &-5 &-6 &-7 &-17\\ &0 &-4 &-8 &-12 &-16 &-29 &-33 &-37 &-41\\ &8 &9 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &1 &2\\ &6 &7 &8 &9 &1 &2 &3 &4 &5\\ &9 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\\end{vmatrix}\\\\ &\color{grey}{第\ 1\ 列的第\ 6\ 行的元与第\ 1\ 行的元的比值为\ 8\ ,将第\ 6\ 行\ -\ 8\ ×\ 第\ 1\ 行} \\\\\ =\ &\begin{vmatrix} &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ &0 &-3 &-6 &-9 &-12 &-15 &-27 &-30 &-33\\ &0 &-6 &-12 &-27 &-33 &-39 &-45 &-51 &-57\\ &0 &-1 &-2 &-3 &-4 &-5 &-6 &-7 &-17\\ &0 &-4 &-8 &-12 &-16 &-29 &-33 &-37 &-41\\ &0 &-7 &-23 &-30 &-37 &-44 &-51 &-58 &-65\\ &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &1 &2\\ &6 &7 &8 &9 &1 &2 &3 &4 &5\\ &9 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\\end{vmatrix}\\\\ &\color{grey}{第\ 1\ 列的第\ 7\ 行的元与第\ 1\ 行的元的比值为\ 3\ ,将第\ 7\ 行\ -\ 3\ ×\ 第\ 1\ 行} \\\\\ =\ &\begin{vmatrix} &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ &0 &-3 &-6 &-9 &-12 &-15 &-27 &-30 &-33\\ &0 &-6 &-12 &-27 &-33 &-39 &-45 &-51 &-57\\ &0 &-1 &-2 &-3 &-4 &-5 &-6 &-7 &-17\\ &0 &-4 &-8 &-12 &-16 &-29 &-33 &-37 &-41\\ &0 &-7 &-23 &-30 &-37 &-44 &-51 &-58 &-65\\ &0 &-2 &-4 &-6 &-8 &-10 &-12 &-23 &-25\\ &6 &7 &8 &9 &1 &2 &3 &4 &5\\ &9 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\\end{vmatrix}\\\\ &\color{grey}{第\ 1\ 列的第\ 8\ 行的元与第\ 1\ 行的元的比值为\ 6\ ,将第\ 8\ 行\ -\ 6\ ×\ 第\ 1\ 行} \\\\\ =\ &\begin{vmatrix} &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ &0 &-3 &-6 &-9 &-12 &-15 &-27 &-30 &-33\\ &0 &-6 &-12 &-27 &-33 &-39 &-45 &-51 &-57\\ &0 &-1 &-2 &-3 &-4 &-5 &-6 &-7 &-17\\ &0 &-4 &-8 &-12 &-16 &-29 &-33 &-37 &-41\\ &0 &-7 &-23 &-30 &-37 &-44 &-51 &-58 &-65\\ &0 &-2 &-4 &-6 &-8 &-10 &-12 &-23 &-25\\ &0 &-5 &-10 &-15 &-29 &-34 &-39 &-44 &-49\\ &9 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\\end{vmatrix}\\\\ &\color{grey}{第\ 1\ 列的第\ 9\ 行的元与第\ 1\ 行的元的比值为\ 9\ ,将第\ 9\ 行\ -\ 9\ ×\ 第\ 1\ 行} \\\\\ =\ &\begin{vmatrix} &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ &0 &-3 &-6 &-9 &-12 &-15 &-27 &-30 &-33\\ &0 &-6 &-12 &-27 &-33 &-39 &-45 &-51 &-57\\ &0 &-1 &-2 &-3 &-4 &-5 &-6 &-7 &-17\\ &0 &-4 &-8 &-12 &-16 &-29 &-33 &-37 &-41\\ &0 &-7 &-23 &-30 &-37 &-44 &-51 &-58 &-65\\ &0 &-2 &-4 &-6 &-8 &-10 &-12 &-23 &-25\\ &0 &-5 &-10 &-15 &-29 &-34 &-39 &-44 &-49\\ &0 &-17 &-25 &-33 &-41 &-49 &-57 &-65 &-73\\\end{vmatrix}\\\\ &\color{grey}{第\ 2\ 列的第\ 3\ 行的元与第\ 2\ 行的元的比值为\ 2\ ,将第\ 3\ 行\ -\ 2\ ×\ 第\ 2\ 行} \\\\\ =\ &\begin{vmatrix} &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ &0 &-3 &-6 &-9 &-12 &-15 &-27 &-30 &-33\\ &0 &0 &0 &-9 &-9 &-9 &9 &9 &9\\ &0 &-1 &-2 &-3 &-4 &-5 &-6 &-7 &-17\\ &0 &-4 &-8 &-12 &-16 &-29 &-33 &-37 &-41\\ &0 &-7 &-23 &-30 &-37 &-44 &-51 &-58 &-65\\ &0 &-2 &-4 &-6 &-8 &-10 &-12 &-23 &-25\\ &0 &-5 &-10 &-15 &-29 &-34 &-39 &-44 &-49\\ &0 &-17 &-25 &-33 &-41 &-49 &-57 &-65 &-73\\\end{vmatrix}\\\\ &\color{grey}{第\ 2\ 列的第\ 4\ 行的元与第\ 2\ 行的元的比值为\ \frac{1}{3}\ ,将第\ 4\ 行\ -\ \frac{1}{3}\ ×\ 第\ 2\ 行} \\\\\ =\ &\begin{vmatrix} &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ &0 &-3 &-6 &-9 &-12 &-15 &-27 &-30 &-33\\ &0 &0 &0 &-9 &-9 &-9 &9 &9 &9\\ &0 &0 &0 &0 &0 &0 &3 &3 &-6\\ &0 &-4 &-8 &-12 &-16 &-29 &-33 &-37 &-41\\ &0 &-7 &-23 &-30 &-37 &-44 &-51 &-58 &-65\\ &0 &-2 &-4 &-6 &-8 &-10 &-12 &-23 &-25\\ &0 &-5 &-10 &-15 &-29 &-34 &-39 &-44 &-49\\ &0 &-17 &-25 &-33 &-41 &-49 &-57 &-65 &-73\\\end{vmatrix}\\\\ &\color{grey}{第\ 2\ 列的第\ 5\ 行的元与第\ 2\ 行的元的比值为\ \frac{4}{3}\ ,将第\ 5\ 行\ -\ \frac{4}{3}\ ×\ 第\ 2\ 行} \\\\\ =\ &\begin{vmatrix} &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ &0 &-3 &-6 &-9 &-12 &-15 &-27 &-30 &-33\\ &0 &0 &0 &-9 &-9 &-9 &9 &9 &9\\ &0 &0 &0 &0 &0 &0 &3 &3 &-6\\ &0 &0 &0 &0 &0 &-9 &3 &3 &3\\ &0 &-7 &-23 &-30 &-37 &-44 &-51 &-58 &-65\\ &0 &-2 &-4 &-6 &-8 &-10 &-12 &-23 &-25\\ &0 &-5 &-10 &-15 &-29 &-34 &-39 &-44 &-49\\ &0 &-17 &-25 &-33 &-41 &-49 &-57 &-65 &-73\\\end{vmatrix}\\\\ &\color{grey}{第\ 2\ 列的第\ 6\ 行的元与第\ 2\ 行的元的比值为\ \frac{7}{3}\ ,将第\ 6\ 行\ -\ \frac{7}{3}\ ×\ 第\ 2\ 行} \\\\\ =\ &\begin{vmatrix} &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ &0 &-3 &-6 &-9 &-12 &-15 &-27 &-30 &-33\\ &0 &0 &0 &-9 &-9 &-9 &9 &9 &9\\ &0 &0 &0 &0 &0 &0 &3 &3 &-6\\ &0 &0 &0 &0 &0 &-9 &3 &3 &3\\ &0 &0 &-9 &-9 &-9 &-9 &12 &12 &12\\ &0 &-2 &-4 &-6 &-8 &-10 &-12 &-23 &-25\\ &0 &-5 &-10 &-15 &-29 &-34 &-39 &-44 &-49\\ &0 &-17 &-25 &-33 &-41 &-49 &-57 &-65 &-73\\\end{vmatrix}\\\\ &\color{grey}{第\ 2\ 列的第\ 7\ 行的元与第\ 2\ 行的元的比值为\ \frac{2}{3}\ ,将第\ 7\ 行\ -\ \frac{2}{3}\ ×\ 第\ 2\ 行} \\\\\ =\ &\begin{vmatrix} &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ &0 &-3 &-6 &-9 &-12 &-15 &-27 &-30 &-33\\ &0 &0 &0 &-9 &-9 &-9 &9 &9 &9\\ &0 &0 &0 &0 &0 &0 &3 &3 &-6\\ &0 &0 &0 &0 &0 &-9 &3 &3 &3\\ &0 &0 &-9 &-9 &-9 &-9 &12 &12 &12\\ &0 &0 &0 &0 &0 &0 &6 &-3 &-3\\ &0 &-5 &-10 &-15 &-29 &-34 &-39 &-44 &-49\\ &0 &-17 &-25 &-33 &-41 &-49 &-57 &-65 &-73\\\end{vmatrix}\\\\ &\color{grey}{第\ 2\ 列的第\ 8\ 行的元与第\ 2\ 行的元的比值为\ \frac{5}{3}\ ,将第\ 8\ 行\ -\ \frac{5}{3}\ ×\ 第\ 2\ 行} \\\\\ =\ &\begin{vmatrix} &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ &0 &-3 &-6 &-9 &-12 &-15 &-27 &-30 &-33\\ &0 &0 &0 &-9 &-9 &-9 &9 &9 &9\\ &0 &0 &0 &0 &0 &0 &3 &3 &-6\\ &0 &0 &0 &0 &0 &-9 &3 &3 &3\\ &0 &0 &-9 &-9 &-9 &-9 &12 &12 &12\\ &0 &0 &0 &0 &0 &0 &6 &-3 &-3\\ &0 &0 &0 &0 &-9 &-9 &6 &6 &6\\ &0 &-17 &-25 &-33 &-41 &-49 &-57 &-65 &-73\\\end{vmatrix}\\\\ &\color{grey}{第\ 2\ 列的第\ 9\ 行的元与第\ 2\ 行的元的比值为\ \frac{17}{3}\ ,将第\ 9\ 行\ -\ \frac{17}{3}\ ×\ 第\ 2\ 行} \\\\\ =\ &\begin{vmatrix} &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ &0 &-3 &-6 &-9 &-12 &-15 &-27 &-30 &-33\\ &0 &0 &0 &-9 &-9 &-9 &9 &9 &9\\ &0 &0 &0 &0 &0 &0 &3 &3 &-6\\ &0 &0 &0 &0 &0 &-9 &3 &3 &3\\ &0 &0 &-9 &-9 &-9 &-9 &12 &12 &12\\ &0 &0 &0 &0 &0 &0 &6 &-3 &-3\\ &0 &0 &0 &0 &-9 &-9 &6 &6 &6\\ &0 &0 &9 &18 &27 &36 &96 &105 &114\\\end{vmatrix}\\\\ &\color{grey}{用同样的方法，可以将它化为上三角行列式} \\\\ \ =\ &\begin{vmatrix} &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ &0 &-3 &-6 &-9 &-12 &-15 &-27 &-30 &-33\\ &0 &0 &-9 &-9 &-9 &-9 &12 &12 &12\\ &0 &0 &0 &-9 &-9 &-9 &9 &9 &9\\ &0 &0 &0 &0 &-9 &-9 &6 &6 &6\\ &0 &0 &0 &0 &0 &-9 &3 &3 &3\\ &0 &0 &0 &0 &0 &0 &6 &-3 &-3\\ &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &\frac{9}{2} &-\frac{9}{2}\\ &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &405\\\end{vmatrix}\\&\color{grey}{将上三角行列式的主对角线的元直接相乘，得出计算结果} \\\\ \ =\ &-215233605\end{aligned}$$
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行列式的主要性质：
性质1、行列式的行与列顺次互换，其值不变。
性质2、若将行列式的两行（或两列）的位置互换，行列式只改变符号。
性质3、行列式中某行（列）的元有公因子 K，则 K 可提到行列式符号外边。
性质4、若行列式中某行的元均可表示为两项之和，则此行列式等于这两个行列式之和。这两个行列式除这一行外的元分别为那两项中的一项外，其它的都不变。
性质5、（i）行列式某行（列）的元全为0；（ii）行列式的两行（列）完全相同；（iii）行列式的两行（列）的元成比例，若上述条件之一成立，则行列式的值为零。
性质6、若把行列式的某行（列）λ倍加到另一行（列）上，则行列式的值不变。