求解函数f(x)=x^2在x=1处的导数值、切线方程和法线方程。

求解函数$f(x)=x^2$在$x=1$处的导数值、切线方程和法线方程。

         解:
         1、在$x=1$处的导数值:
         $f(x)=x^2$的导函数为 $$ f'(x)=2x $$ 当$x=1$时,对应的导函数的值即为$f(x)$在$x=1$处的导数值: $$ f'(2)=2 $$
即,在$x=1$处的导数值为$2$
         2、在$x=1$处的切线方程:
         此处切线方程的斜率即为导数值$k=2$ 所以,可以设切线方程为 $$ y=2x+b $$ 因为$f(1)=1$,所以该直线过$(1,1)$点。 将该点的坐标代入直线方程得 $$ \begin{align} 1=&2+b\\ => b=&-1 \end{align} $$ 所以,所求的切线方程为 $$ y=2x-1 $$
         3、在x=1处的法线方程:
         法线方程的斜率与切线方程的斜率互为负倒数,所以法线方程的斜率为$-\frac 12$ 设法线方程为 $$ y=-\frac 12x+b $$ 因为$f(1)=1$,所以,该法线过$(1,1)$点。 把$(1,1)$点的坐标代入法线方程得: \begin{align} 1=&-\frac 12\times 1 + b\\ =>b=&\frac 32 \end{align} 所以,所求的法线方程为: $$ y=-\frac 12x+\frac 32 $$