在△ABC中,∠A=∠ABC=∠ADB=70°,CD=BE,求∠BDE=?

在$\triangle ABC$中,$∠A=∠ABC=∠ADB=70°$,$CD=BE$,求$∠BDE=?$

解:
         如图:




因为 $$\angle A=\angle ABC=\angle ADB= 70°$$ ,所以, $$ \begin{align} \angle C=& 40°\\ \angle ADB=& 70°\\ \angle ABD=& 40°\\ \angle DBE=& 30° \end{align} $$ 设$\angle BDE=β$,$\angle CED=α$,则 $$ \angle α=\angle β+30°\ \ \ \ (1) $$ 则在$\triangle CDE$中,由正弦定理得: $$ \frac {DE}{sin40°}=\frac{CD}{sinα}\ \ \ \ (2) $$ 在$\triangle BDE$中,由正弦定理得: $$ \frac {BE}{sinβ}=\frac{DE}{sin30°}\ \ \ \ (3) $$ 由$(3)$得: $$ DE=\frac{BE \times sin30°}{sinβ}\ \ \ \ (4) $$ 把$(4)$代入$(2)$得: $$ \frac{BE \times sin30°}{sin40° \times sinβ}=\frac{CD}{sinα}\ \ \ \ (5) $$ 因为$CD=BE$,所以等式可以化简为: $$ sin30° \times sinα=sin40°\times sinβ\ \ \ \ (6) $$ 再把$(1)$代入$(6)$得: $$ sin30°\times sin(β+30°)=sin40°\times sinβ $$ 解这个三角函数方程得: $$ β=50° $$
         即:$\angle BDE=50°$